Change or stay?

很久以前在水木的IQDoor版看到的一个概率游戏。有三个箱子,其中一个里面有东西,另外两个是空的。玩家猜测哪一个箱子有东西。首先让玩家随机选择一个,假定他选择A箱子。然后游戏主持人在剩下B、C两个箱子中打开一个空的,不妨假定主持人打开了空的C箱子。那么现在玩家是应该改变主意选择B,还是坚持选择A?

一种观点认为,C箱证明为空,则A和B的几率各为1/2,改变选择不会增大胜利的概率,仍然选择A。
另一种观点认为,C箱打开之前,A箱子有东西的几率是1/3。打开C箱的过程不影响A箱的概率,所以A箱中标的概率仍为1/3。那么余下的2/3获胜概率就对应在B箱,所以玩家应该改变主意,选择B。

看到这道题的时候,我的直觉反应是第一种观点,A、B两个箱子的概率相当。先别急着往下看,你的想法是怎么样的呢?

随后我用C++模拟了一千万次独立随机实验,结果选择“不改变”和“改变”的获胜次数分别为3,333,983次和6,666,017次。可见这两种策略的获胜概率的确分别为1/3和2/3。

那么问题出在哪里呢?考察实验所用的C++程序,发现关键在于主持人。主持人知道哪个箱子有东西,所以他打开空箱子的过程中实际上隐含了信息。

根据规则,主持人不能打开goal箱子,也不能打开玩家所选的A箱子。那么只能在B、C中选择一个空的打开。
如果goal箱子在B、C中(这一事件的概率是2/3),假设是B。那么主持人没的选择,只能挑唯一剩下的空箱子C打开。这时候玩家改变主意必然获胜,不改变主意必然告负,因此改变主意和不改变主意获胜的概率分别为 2/3 * 1 和 2/3 * 0 。

如果goal箱子被玩家猜中(这一事件的概率是1/3),主持人在余下两个空箱子中随便拎一个打开,最后剩下的那个箱子仍然是空的。此时玩家改变主意必然告负,不改变主意必然获胜,因此改变主意和不改变主意获胜的概率分别为 1/3 * 0 和 1/3 * 1 。

把两种情况的概率相加,可知改变主意获胜的概率为2/3,不改变主意获胜的概率为1/3,符合第二种观点。

进一步考虑,如果修改游戏规则,让主持人完全独立随机地选择箱子。如果碰巧打开了目标箱子或者玩家所选的箱子,则该轮直接判负。这样,主持人所掌握的信息无法在“打开一个空箱子”的过程中显现出来,于是我们可以安全的说,C箱证明为空不会导致A、B的概率分布不平衡,A和B的几率相等。实验证明,在一百万次独立随机实验中,选择“不改变”和“改变”的获胜次数分别为2,222,076次和2,222,584次,都是2/9的概率。

2/9是怎么得来的呢?根据我们修改的新规则,主持人打开了目标箱子或者玩家所选的箱子就判负,因此判负的概率是 1/3 + 1/3 – (1/3)*(1/3) = 5/9,剩下能赢的概率4/9由两种策略均分,各2/9。

16 thoughts on “Change or stay?”

  1. 偶可怜啊,服务器down了一个星期,原来是换了IP,却不通知我,太愤怒了。现在好啦,终于恢复正常了,咔咔

    1. patpat,也没有告诉我,不过反正我已经把域名解析到盘古的空间了,

      那天闲来无事问了问21的客服才告诉我- – 这21客服的职业态度也太恶劣了- –

  2. 恩,不错不错。一直刷不开sillysnailMM的地盘,正准备留言问问,发现答案已经在下面了:)

  3. 本来是昨天发广告的,但是昨天被导师叫走了,没时间发,于是延到今日大发广告了。蜗牛mm的blog地址是什么啊,怎么上不去了?

  4. 做一做另一个有趣的问题:
    现在有两个信封,一个里的钱是另一个的2倍.
    我现在给你一个信封,问你是不是选择换成另一个信封

    1. 我不告诉你。你给我信封后我再扔硬币决定换不换。

      如果我事先决定“换”,那么你一定会给我钱多的信封。如果我事先决定“不换”,那么你一定会给我钱少的信封。所以我不能采用纯战略,而应该采用混合战略。

      我的最小收益是1,最大收益是2。假设你给我1#信封的概率为p,给我2#信封的概率为(1-p)。那么我不换的收益为p + 2 (1 – p) = 2 – p,换的收益为2p + 1 – p = 1 + p 。为了使我的最大收益最小化,你应该让 p = 1/2,从而使我没有占优战略。反过来,假设我不换的概率为q,换的概率为(1-q)。那么你出1的收益是 (-1) q + (-2) (1 – q) = – (2 – q),出2的收益是 q (-2) + (1-q) (-1) = – (1 + q)。同样的,为了使你没有占优策略,我也应该令 q = 1/2。最后咱们俩形成了一个混合纳什均衡,这个均衡是稳定的,任何一方偏离混合均衡都会导致自己收益降低。

  5. 找到你空间的路径:水母—川版

    来了之后发现:1 你似乎是也是清华的
    2 你也是四川的
    3 你似乎也在中大待过

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